Объём и площадь поверхности цилиндра
Объём, площадь основания, боковую и полную площадь поверхности цилиндра по радиусу и высоте. Точный ответ через π и десятичное приближение, схема цилиндра.
≈ 141,3717
≈ 150,7964
- Площадь основания
- 9π
- Боковая площадь
- 30π
- Площадь основания: S = πr² = π × 3² = 9π ≈ 28,2743
- Боковая площадь: Sбок = 2πrh = 2π × 3 × 5 = 30π ≈ 94,2478
- Полная площадь: Sполн = 2πr(r + h) = 2π × 3 × (3 + 5) = 48π ≈ 150,7964
- Объём: V = πr²h = π × 3² × 5 = 45π ≈ 141,3717
Что считает калькулятор
Цилиндр — это круг, протянутый вдоль высоты: два одинаковых круглых основания, соединённые боковой поверхностью. Отсюда и формулы — все они прямо опираются на формулу площади круга, только либо умноженную на высоту (для объёма), либо развёрнутую в прямоугольник (для боковой поверхности).
Если мысленно разрезать боковую поверхность цилиндра вдоль одной линии и развернуть её на плоскость, получится прямоугольник: одна его сторона равна высоте цилиндра, а другая — длине окружности основания. Отсюда формула боковой площади: длина окружности, умноженная на высоту.
Поскольку и площадь круга, и длина окружности — точные величины, кратные π, объём и площадь цилиндра тоже выражаются точно через π, а не только десятичным приближением.
Формула
S = πr², Sбок = 2πrh, Sполн = 2πr(r + h), V = πr²h
- r
- радиус основания
- h
- высота цилиндра
- S
- площадь одного основания
- Sбок
- боковая площадь — развёрнутая в прямоугольник боковая поверхность
- Sполн
- полная площадь — оба основания плюс боковая поверхность
- V
- объём
- Sполн = 2πr² + 2πrh — два основания (2πr²) плюс боковая поверхность (2πrh); формулу удобно свернуть, вынеся 2πr за скобки: 2πr(r + h).
- Объём цилиндра — это площадь основания, умноженная на высоту: та же логика, что у призмы, только основание круглое.
Примеры
Радиус 3, высота 5
- S = π × 3² = 9π ≈ 28,27
- Sбок = 2π × 3 × 5 = 30π ≈ 94,25
- Sполн = 2π × 3 × (3 + 5) = 48π ≈ 150,80
- V = π × 3² × 5 = 45π ≈ 141,37
Объём 45π ≈ 141,37, полная площадь поверхности 48π ≈ 150,80
Частые вопросы
›Чем боковая площадь отличается от полной?
Боковая площадь — это только «стенка» цилиндра, без верхнего и нижнего кругов. Полная площадь добавляет оба основания: Sполн = Sбок + 2S. Какая нужна, зависит от задачи — например, для расчёта краски на банку без крышки и дна нужна только боковая площадь.
›Почему боковую поверхность цилиндра считают как прямоугольник?
Если разрезать боковую поверхность вдоль одной образующей линии и развернуть на плоскость, она действительно становится прямоугольником: его высота равна высоте цилиндра, а ширина — длине окружности основания, потому что именно на такое расстояние обёрнута поверхность вокруг оси.
›Как найти высоту цилиндра, если известен объём и радиус?
Выразите высоту из формулы объёма: h = V / (πr²). Разделите объём на площадь основания.
›Чем объём цилиндра отличается от объёма конуса с теми же радиусом и высотой?
Конус с тем же основанием и высотой — ровно в три раза меньше по объёму: Vконус = ⅓πr²h. Это можно представить физически: конус входит в цилиндр ровно три раза, если его многократно заполнить и пересыпать содержимое в цилиндр.
Методика проверена