Теорема Пифагора — расчёт гипотенузы и катета
Найдите гипотенузу по двум катетам или катет по катету и гипотенузе. Формула, пошаговое решение, точный корень там, где это возможно, и схема треугольника.
- c² = a² + b² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
- √25 = 5 — точный корень
Что считает калькулятор
Теорема Пифагора связывает три стороны прямоугольного треугольника: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Она работает только для прямоугольного треугольника — того самого, где есть угол ровно 90°, и именно сторона напротив этого угла называется гипотенузой и всегда оказывается самой длинной.
Из формулы можно найти любую сторону, если известны две другие: гипотенузу — сложением квадратов катетов, катет — вычитанием квадрата известного катета из квадрата гипотенузы. Когда под корнем не получается точный квадрат, калькулятор не обрезает результат до приближённого числа, а показывает точную запись через корень — например, гипотенуза равнобедренного треугольника с катетами 1 и 1 равна ровно √2, а не 1,41421356…
Формула
a² + b² = c²
- a, b
- катеты — стороны, образующие прямой угол
- c
- гипотенуза — сторона напротив прямого угла, всегда самая длинная
- Гипотенуза всегда длиннее любого катета — это следует из формулы: c² складывается из a² и b², значит c² больше каждого слагаемого.
- Тройки целых чисел, точно подходящие под теорему — 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13 — называют пифагоровыми тройками, и на них удобно проверять расчёт вручную.
Примеры
Катеты 3 и 4 — найти гипотенузу
- c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
- c = √25 = 5
Гипотенуза равна 5 — точный результат, классическая пифагорова тройка
Катет 3, гипотенуза 5 — найти второй катет
- b² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16
- b = √16 = 4
Второй катет равен 4
Катеты 1 и 1 — найти гипотенузу
- c² = 1² + 1² = 1 + 1 = 2
- c = √2 — под корнем нет точного квадрата
Гипотенуза равна √2 ≈ 1,414214, точного целого ответа не существует
Частые вопросы
›Работает ли теорема Пифагора для любого треугольника?
Нет, только для прямоугольного — того, у которого один из углов равен ровно 90°. Для остальных треугольников связь между сторонами и углами описывает теорема косинусов, которая при угле 90° как раз превращается в теорему Пифагора: косинус 90° равен нулю, и лишнее слагаемое исчезает.
›Как узнать, что треугольник прямоугольный, зная только три стороны?
Подставьте стороны в формулу: если квадрат самой длинной стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный. Это обратная теорема Пифагора, и она тоже верна.
›Почему иногда ответ не целое число?
Квадратный корень даёт целое число только тогда, когда подкоренное выражение — точный квадрат: 25, 16, 169 и подобные. В остальных случаях, как у катетов 1 и 1, результат — иррациональное число, которое можно записать только приближённо в десятичных знаках или точно через сам корень.
›Что такое пифагорова тройка?
Это набор из трёх натуральных чисел, точно удовлетворяющих a² + b² = c² — например, 3-4-5 или 5-12-13. Такие тройки удобны для проверки: подставив их в калькулятор, легко увидеть, что результат получается ровным целым числом.
Методика проверена
Смежные калькуляторы
Площадь прямоугольника и квадрата
Площадь, периметр и диагональ со схемой в реальном масштабе
ОткрытьГеометрияПлощадь треугольника по трём сторонам
Площадь по формуле Герона с точным ответом и треугольником в реальном масштабе
ОткрытьГеометрияПлощадь трапеции
Площадь трапеции через среднюю линию, с восстановлением высоты по боковой стороне
ОткрытьГеометрияПлощадь ромба
Площадь ромба по диагоналям или по стороне и углу, с точным корнем
Открыть