Площадь треугольника по трём сторонам — формула Герона
Найдите площадь и периметр треугольника по длинам трёх сторон. Формула Герона с пошаговым решением, точный ответ через корень и схема треугольника в масштабе.
≈ 14,6969
Периметр: 18
- Полупериметр: p = (a + b + c) / 2 = (5 + 6 + 7) / 2 = 9
- S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)) = √(9 × 4 × 3 × 2)
- S ≈ 14,696938
- Точное значение: 16S² = 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² − a⁴ − b⁴ − c⁴ = 3456, S = √3456 / 4 = 6 √6
Что считает калькулятор
Формула Герона находит площадь треугольника только по длинам трёх сторон, без углов и высот — в этом её главное удобство. Сначала считается полупериметр — половина суммы всех сторон, а затем площадь выражается через него и три разности с каждой из сторон.
Не любые три числа образуют треугольник: каждая сторона должна быть короче суммы двух других, иначе стороны просто не сомкнутся в фигуру. Калькулятор проверяет это условие первым делом и объясняет, если стороны не подходят.
Когда все три стороны — целые числа, площадь часто выражается точно через корень, а не только приближённо в десятичных знаках. Например, у треугольника со сторонами 5, 6 и 7 площадь равна ровно 6√6, а не только ≈14,697.
Формула
p = (a + b + c) / 2, S = √(p(p − a)(p − b)(p − c))
- a, b, c
- длины трёх сторон треугольника
- p
- полупериметр — половина суммы всех сторон
- S
- площадь треугольника
- Неравенство треугольника: каждая сторона должна быть меньше суммы двух других. Если это не так, треугольника с такими сторонами не существует.
- Формула работает для любого треугольника — прямоугольного, тупоугольного, равнобедренного, — а не только для частных случаев.
Примеры
Стороны 5, 6 и 7
- Полупериметр: p = (5 + 6 + 7) / 2 = 9
- S = √(9 × 4 × 3 × 2) = √216
- 216 = 2³ × 3³, точное значение — 6√6
Площадь равна 6√6 ≈ 14,697
Прямоугольный треугольник 3, 4, 5
- p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
- S = √(6 × 3 × 2 × 1) = √36 = 6
Площадь равна 6 — совпадает с ½ × 3 × 4, как и должно быть у прямоугольного треугольника
Частые вопросы
›Почему формулу называют именно формулой Герона?
По имени древнегреческого учёного Герона Александрийского, который привёл её доказательство в своём трактате «Метрика». Формула была известна и раньше, но именно его изложение стало общепринятым источником.
›Работает ли формула для тупоугольного треугольника?
Да, формула не делает различий между остроугольным, прямоугольным и тупоугольным треугольником — ей нужны только три стороны. Единственное ограничение — стороны должны реально образовывать треугольник, то есть проходить неравенство треугольника.
›Как проверить, что три числа образуют треугольник?
Сложите две меньшие стороны и сравните с наибольшей: если сумма больше — треугольник существует, если равна или меньше — нет. Например, 1, 2 и 3 не образуют треугольник, потому что 1 + 2 = 3, стороны просто вытянутся в отрезок без площади.
›Почему в примере получается точный ответ 6√6, а не десятичное число?
Потому что при целых сторонах выражение под корнем в формуле Герона — тоже целое число, а извлечь из него корень нацело не всегда получается. Когда не получается, число раскладывают на множители и выносят из-под корня всё, что можно, — так десятичное приближение 14,697 превращается в точную запись 6√6.
Методика проверена