Калькулятор НОД и НОК

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное для двух и более чисел с разложением на простые множители и таблицей сравнения показателей.

Числа

НОД — наибольший общий делитель

НОК — наименьшее общее кратное

144

48	÷	2
24	÷	2
12	÷	2
6	÷	2
3	÷	3
1

48 = 2^4 × 3

18	÷	2
9	÷	3
3	÷	3
1

18 = 2 × 3^2

Простой множитель	48	18	min (НОД)	max (НОК)
2	4	1	1	4
3	1	2	1	2

Что считает калькулятор

НОД и НОК — противоположные по смыслу величины. Наибольший общий делитель — это самое большое число, на которое делятся без остатка сразу все заданные числа. Наименьшее общее кратное — самое маленькое число, которое делится без остатка на каждое из них. Первое не больше меньшего из чисел, второе не меньше большего.

Школьный способ найти обе величины — разложить каждое число на простые множители и сравнить показатели степеней. В НОД идёт только то общее, что есть у всех чисел сразу, и в наименьшей из встретившихся степеней. В НОК идёт всё, что нашлось хотя бы у одного числа, и в наибольшей из встретившихся степеней. Калькулятор строит это разложение для каждого числа и таблицу сравнения, где видно, откуда взялся результат.

Формула

НОД(a, b) × НОК(a, b) = a × b (справедливо для пары чисел)

НОД: наибольший общий делитель — произведение общих простых множителей в минимальной степени
НОК: наименьшее общее кратное — произведение всех встретившихся простых множителей в максимальной степени

Если у чисел нет общих простых множителей, они называются взаимно простыми, и их НОД равен 1.
Тождество НОД × НОК = a × b работает только для двух чисел — для трёх и более такой прямой связи нет.
НОД(1, n) всегда равен 1, а НОК(1, n) всегда равен n: единица не имеет простых множителей.

Примеры

НОД и НОК чисел 48 и 18

48 = 2⁴ × 3
18 = 2 × 3²
НОД: общие множители 2 и 3 в меньшей степени — 2¹ × 3¹ = 6
НОК: все множители в большей степени — 2⁴ × 3² = 144

НОД(48, 18) = 6, НОК(48, 18) = 144

НОД и НОК трёх чисел 12, 18 и 24

12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
24 = 2³ × 3
НОД: общий для всех троих множитель 2 в минимальной степени 1, множитель 3 в минимальной степени 1 → 2 × 3 = 6
НОК: множитель 2 в степени 3, множитель 3 в степени 2 → 2³ × 3² = 72

НОД(12, 18, 24) = 6, НОК(12, 18, 24) = 72

Частые вопросы

›Для чего на практике нужен НОК?

Чаще всего — чтобы привести дроби к общему знаменателю: наименьший подходящий знаменатель и есть НОК исходных знаменателей. Также НОК используют в задачах на периодичность — например, через сколько дней снова совпадут графики двух событий с разными интервалами.

›Для чего нужен НОД?

НОД используют, чтобы сократить дробь до несократимого вида, и в задачах на деление величины на равные части максимального размера — например, на сколько одинаковых кусков без остатка можно разрезать две доски разной длины.

›Что если числа не имеют общих делителей, кроме единицы?

Такие числа называются взаимно простыми, и их НОД равен 1. Это не ошибка и не особый случай — например, НОД(8, 9) = 1, хотя оба числа не простые сами по себе.

›Можно ли найти НОД без разложения на множители?

Да, для пары чисел это быстрее делает алгоритм Евклида: большее число делят на меньшее с остатком, затем меньшее делят на остаток, и так далее, пока остаток не станет нулём — последний ненулевой остаток и есть НОД. Разложение на множители нагляднее и без изменений работает для любого количества чисел, поэтому здесь используется оно.

Методика проверена 10 августа 2026 г.

Улучшить

Смежные калькуляторы

Математика